题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性及极值;
(Ⅱ)若不等式在
内恒成立,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)函数求导得,讨论
和
演技单调性及极值即可;
(2)当时,
在
内单调递增,可知
在
内不恒成立,当
时,
,即
,所以
.令
,进而通过求导即可得最值.
试题解析:
(1)由题意得.
当,即
时,
,
在
内单调递增,没有极值.
当,即
,
令,得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增,
故当时,
取得最小值
,无极大值.
综上所述,当时,
在
内单调递增,没有极值;
当时,
在区间
内单调递减,在区间
内单调递增,
的极小值为
,无极大值.
(2)由(1),知当时,
在
内单调递增,
当时,
成立.
当时,令
为
和
中较小的数,
所以,且
.
则,
.
所以,
与恒成立矛盾,应舍去.
当时,
,
即,
所以.
令,
则.
令,得
,
令,得
,
故在区间
内单调递增,
在区间内单调递减.
故,
即当时,
.
所以.
所以.
而,
所以.
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