Question

【题目】已知函数（）．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若不等式对任意恒成立．（i）求实数的取值范围；（ii）试比较与的大小，并给出证明（为自然对数的底数， ）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数在区间上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解.

试题解析：（1）因为时， ， ，所以切点为， ，所以时，曲线在点处的切线方程为．
（2）（）由，所以，①当时， ， ，∴在上单调递增， ，∴不合题意；②当即时， 在上恒成立，∴在上单调递减，有，∴满足题意；③若即时，由，可得，由，可得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴不合题意，综上所述，实数的取值范围是．
（）时，“比较与的大小”等价于“比较与的大小”，设，（ ），则，∴在上单调递增，因为，当时， ，即，所以，当时， ，即，∴，综上所述，当时， ；当时， ；当时， .