题目内容
【题目】已知{an}为等比数列,a1=1,a4=27; Sn为等差数列{bn} 的前n 项和,b1=3,S5=35.
(1)求{an}和{bn} 的通项公式;
(2)设数列{cn} 满足cn=anbn(n∈N*),求数列{cn} 的前n 项和Tn .
【答案】
(1)解:设等比数列{an}的公比为q,∵a1=1,a4=27;∴1×q3=27,解得q=3.
∴ .
设等差数列{bn} 的公差为d,∵b1=3,S5=35.∴5×3+ =35,解得d=2.
∴bn=3+2(n﹣1)=2n+1.
(2)解:cn=anbn=(2n+1)3n﹣1.
∴数列{cn} 的前n 项和Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)3n﹣1.
3Tn=3×3+5×32+…+(2n﹣1)3n﹣1+(2n+1)3n.
∴﹣2Tn=3+2×(3+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)3n=3+ ﹣(2n+1)3n.
∴Tn=n3n.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由a1=1,a4=27;可得1×q3=27,解得q.设等差数列{bn} 的公差为d,由b1=3,S5=35.可得5×3+ =35,解得d.(2)cn=anbn=(2n+1)3n﹣1 . 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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