题目内容
【题目】已知函数
．
（1）若函数
在区间
内是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个极值点
，
，且
，求证：
．（注：
为自然对数的底数）
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】
（1）函数
在区间
上是单调递增函数，
，化为：
，
.利用二次函数的单调性即可得出.
（2）
在区间
上有两个不相等的实数根，方程
在区间上有两个不相等的实数根.令
，利用根的分布可得
的范围，再利用根与系数关系可得：
，得
，令
.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
（1）解：∵函数在区间上是单调递增函数，
∴，化为：，，
令
，则
时取等号.
.
∴实数的取值范围是；
（2）证明：
在区间上有两个不相等的实数根，
即方程在区间上有两个不相等的实数根，
记，则
，解得
，
，
，
令，
，
记
，
，
令
在
上单调递增.
，
因此函数
存在唯一零点
，使得
，
当
；当
时，
，
而
在
单调递减，在
单调递增，
而
，
，
，
∴函数
在
上单调递减，
，
可得：
，
即
.
【题目】杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为
，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为
？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知n，r为正整数，且
.求证：任何四个相邻的组合数
，
，
，
不能构成等差数列.
