题目内容
【题目】杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为
，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为
？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知n，r为正整数，且
.求证：任何四个相邻的组合数
，
，
，
不能构成等差数列.
【答案】（1）
（2）存在；第62行（3）证明见解析
【解析】
（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第
行的n个数的和为：
，然后求出
即可
（2）由方程
，
解出即可
（3）若有n，r（
），使得
，
，
，
成等差数列，则由等差中项和组合数的知识可得出
，然后可得
，这与，，，成等差数列相矛盾.
（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第行的n个数的和为：
，
∴
.
（2）杨辉三角形的第n行由二项式系数
，
，1，2，…，n组成.
如果第n行中有，，
那么
，
，
解这个联立方程组，得
，
.
即第62行有三个相邻的数
，
，
的比为
.
（3）若有n，r（），使得，，，成等差数列，
则
，
，
即
，
.
所以有
，
，
经整理得到
，
.
两式相减可得
而由二项式系数的性质可知，
这与
，
，
，
成等差数列矛盾，
所以原命题得证.
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