Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图
（1）求f（x）的解析式；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）将f（x）上的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$，纵坐标不变，然后将所得到的函数图象沿x轴向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象
①试写出y=g（x）的解析式；②试做出y=g（x）在x∈[0，2π]上的函数图象．

Answer 1

分析 （1）由图知A，T，从而可求得ω；又函数y=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ）经过（0，1），可求得φ，从而可得函数的表达式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z解得函数的单调递增区间．
（3）用五点法即可作函数在一个周期上的简图．

解答 解：（1）由图知，A=2，$\frac{1}{2}$T=x₀+3π-x₀=3π，ω＞0，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=6π，解得ω=$\frac{1}{3}$；
又函数y=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ）经过（0，1），
∴$\frac{1}{3}$×0+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z．
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴y=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
故f（x）的解析式为：y=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z解得函数的单调递增区间为：[6kπ-2π，6kπ+π]，k∈Z．
（3）①把y=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$，可得y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再将图象沿x轴向右平移$\frac{π}{3}$个单位，可得函数y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）的图象，
②列表：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{13π}{6}$
x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
2sin（x-$\frac{π}{6}$）	-1	0	2	0	-2	0

描点得图象y=g（x）在x∈[0，2π]上的函数图象如下：

点评 本题考查五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，也是难点，考查识图与运算能力，属于中档题．