Question

3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=-1-log₂（-x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1），若g（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），f（0）=0，当x＞0时，-x＜0，由条件可得x＞0的解析式，进而得到f（x）的解析式；
（2）化简g（x）的解析式，再由解不等式可得最小值，由恒成立思想可得m的范围，进而得到最大值．

解答 解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，即有f（-x）=-f（x），
f（0）=0，
当x＞0时，-x＜0，f（-x）=-1-log₂x，即有f（x）=1+log₂x．
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-lo{g}_{2}（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{1+lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可得g（x）=2（1+log₂（2^x+3））-（1+log₂（2^x+1））
=1+log₂$\frac{（{2}^{x}+3）^{2}}{{2}^{x}+1}$，
由$\frac{（{2}^{x}+3）^{2}}{{2}^{x}+1}$=（2^x+1）+$\frac{4}{{2}^{x}+1}$+4≥2$\sqrt{（{2}^{x}+1）•\frac{4}{{2}^{x}+1}}$+4=8．
当且仅当x=0时，取得等号．
即有g（x）的最小值为1+log₂8=4，
由g（x）≥m恒成立可得m≤4，
则m的最大值为4．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用和不等式恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，考查基本不等式和对数性质的运用，属于中档题．