题目内容

14.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,都有f(x+$\frac{3}{2}$)f(x)=2014,且当x∈(0,$\frac{3}{2}$]时,f(x)=log2(2x+1),则f(-2015)+f(2013)=log23.

分析 由已知f(x+$\frac{3}{2}$)f(x)=2014,求出函数f(x)的周期,利用已知函数的解析式求解函数值即可.

解答 解:由f(x)为奇函数可得f(-x)=-f(x),再由条件当x>0时,都有f(  )f(x)=2014,
可得f(x+$\frac{3}{2}$)=$\frac{2014}{f(x)}$,
所以,f(3+x)=$\frac{2014}{f(x+\frac{3}{2})}$=$\frac{2014}{\frac{2014}{f(x)}}$=f(x).函数的周期是3,
当x∈(0,$\frac{3}{2}$]时,f(x)=log2(2x+1),
所以,f(-2015)+f(2013)
=-f(2015)+f(2013)
=-f(671×3)+f(671×3)
=-f(2)+f(0)
=-f(-1)
=f(1)
=log23.
故答案为:log23.

点评 本题主要考察函数奇偶性的性质,函数的周期,函数值的求法,属于中档题.

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