题目内容
已知函数f(x)=x2ex.
(1)求f(x)的极值.
(2)求f(x)在区间[t,0]上的最大值和最小值.
(1)求f(x)的极值.
(2)求f(x)在区间[t,0]上的最大值和最小值.
(1)f′(x)=xex(2+x).
令f′(x)=0,解得x=0或-2.
由f′(x)>0,解得x>0或x<-2,
∴函数f(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)单调递增;
由f′(x)<0,解得-2<x<0,∴函数f(x)在(-2,0上单调递减.
∴函数f(x)在x=0取得极小值,f(0)=0;
在x=-2取得极大值,f(-2)=
.
(2)①当0>t≥-2时,函数f(x)在区间[t,0]上单调递减,
∴当x=t时,函数f(x)取得最大值,且f(t)=t2et;当x=0时,函数f(x)取得最小值,且f(0)=0;
②当t<-2时,函数f(x)在区间[t,-2)上单调递增;函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减.
∴当x=-2时,函数f(x)取得最大值,且f(-2)=
.
又f(t)=t2et,f(0)=0,
∴f(0)<f(t),因此函数f(x)的最小值为f(0)=0.
令f′(x)=0,解得x=0或-2.
由f′(x)>0,解得x>0或x<-2,
∴函数f(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)单调递增;
由f′(x)<0,解得-2<x<0,∴函数f(x)在(-2,0上单调递减.
∴函数f(x)在x=0取得极小值,f(0)=0;
在x=-2取得极大值,f(-2)=
4 |
e2 |
(2)①当0>t≥-2时,函数f(x)在区间[t,0]上单调递减,
∴当x=t时,函数f(x)取得最大值,且f(t)=t2et;当x=0时,函数f(x)取得最小值,且f(0)=0;
②当t<-2时,函数f(x)在区间[t,-2)上单调递增;函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减.
∴当x=-2时,函数f(x)取得最大值,且f(-2)=
4 |
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又f(t)=t2et,f(0)=0,
∴f(0)<f(t),因此函数f(x)的最小值为f(0)=0.
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