题目内容
【题目】已知数列都是由实数组成的无穷数列.
(1)若都是等差数列,判断数列
是否是等差数列,说明理由;
(2)若,且
是等比数列,求
的所有可能值;
(3)若都是等差数列,数列
满足
,求证:
是等差数列的充要条件是:
中至少有一个是常数.
【答案】(1)是等差数列,理由见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)要证明数列是等差数列,只要
为定值即可(2)由
是等比数列,可知
为非零常数,即可求解(3)根据等差数列的定义分别证明充分性及必要性即可.
(1)是等差数列
证明:
都是等差数列,设其公差分别为
,
(定值),
是等差数列;
(2)对于
恒成立,则
;
(3)证明:
1°充分性:若,则
(定值),结论成立;同理
,结论也成立;
2°必要性:,要使得对于
恒成立,则
定值,则结论成立;
同理:,要使得对于
恒成立,则
定值,则结论成立;
综上: 是等差数列的充要条件是:
中至少有一个是常数列.
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【题目】2019年6月25日,《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出,国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示:
得分 | |||||||
频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求
;
(2)在(1)的条件下,市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于
的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
获赠的随机话费(单位:元) | 20 | 40 |
概率 |
现市民小王要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列及数学期望.
附:①;
②若,则
,
,
.