题目内容
【题目】设数列
的前
项和为
，对任意
，点
都在函数
的图象上.
(1)求
，归纳数列的通项公式(不必证明).
(2)将数列依次按
项、
项、
项、
项、
项循环地分为
，
，
，
，各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
，求
的值.
(3)设
为数列
的前项积，若不等式
对一切都成立，其中
，求
的取值范围.
【答案】（1）
，
，
，
（2）3012 （3）
【解析】
（1）求得
，分别令
，2，3，进而归纳出数列
的通项公式；
（2）写出几个循环数，可得每一次循环记为一组，由每一个循环含有5个括号，故
是第20组中第5个括号内的数之和，每一个循环中含有15个数，20个循环具有300个数，计算可得所求和；
（3）由题意可得原不等式即为
对一切
都成立，
设
，则只需
，判断数列
的单调性，可得最大值，解不等式即可得到所求
的范围．
因为点
在函数
的图象上，故
所以
令，得
，所以；
令
，得
，所以；
令
，得
，所以；
由此猜想:.
因为，所以数列
依次按
项、
项、
项、
项、
项循环地分为
，
，
，
每一次循环记为一组.由于每一个循环含有个括号，故是第
组中第个括号内各数之和，每个循环中有
个数，
个循环共有
个数.
又
，所以
.
（3）因为
故
，
所以
又
故
对一切都成立，
就是
，则只需
即可
由于
，所以
故
是单调递减，
于是
，
解得
.
应用题点拨系列答案
状元及第系列答案
同步奥数系列答案
【题目】为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市
名农民工(其中技术工、非技术工各
名)的月工资，得到这名农民工的月工资均在
(百元)内，且月工资收入在
(百元)内的人数为
，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
(1)求
的值；
(2)已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有
名，非技术工有
名.
①完成如下所示
列联表
技术工 | 非技术工 | 总计 | |
月工资不高于平均数 |
| ||
月工资高于平均数 |
| ||
总计 |
|
|
|
②则能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:
，其中
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
【题目】辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．
这100名学生语文成绩某些分数段的人数
与数学成绩相应分数段的人数
之比如下表所示：
分组区间 | [100,110） | [110,120） | [120,130） | [130,140） |
| 1:2 | 2:1 | 3:4 | 1:1 |
（1）估计这100名学生语文成绩的平均数、方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为
，求的数学期望
．
