题目内容
【题目】已知,
且
,
且
,函数
.
(1)设,
,若
是奇函数,求
的值;
(2)设,
,判断函数
在
上的单调性并加以证明;
(3)设,
,
,函数
的图象是否关于某垂直于
轴的直线对称?如果是,求出该对称轴,如果不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)对称轴为
,理由见解析.
【解析】
(1)根据已知条件,将代入函数
的解析式,得出
,利用奇函数的定义
,可求出实数
的值;
(2)判断出函数和函数
的单调性,然后利用函数单调性的运算法则,可判断出函数
的单调性,然后利用函数单调性的定义加以证明;
(3)根据函数图象的对称轴为直线
,得出
对任意的实数
恒成立,即可求出实数
的值.
(1)由已知,,
,由于函数
为奇函数,
则对任意的
恒成立,
,因此,
;
(2)当时,函数
为增函数,函数
为减函数,
又,所以,函数
在
上是增函数,
下面利用定义来证明出函数的单调性.
任取,则
,
,
,即
,又
,
,
,
,所以,
,即
.
因此,函数在
上是增函数;
(3),若函数
的图象是轴对称图形,且对称轴为直线
,
则,
,
即,即
,
即对任意的
恒成立,
,即
,
因此,.

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