Question

18．已知圆C：（x-4）²+（y-3）²=1和两点A（0，-m），B（0，m）（m＞0）．若圆C上存在点P使得∠APB=$\frac{π}{2}$，则m的范围是（　　）

• A． [4，6]
• B． （4，6）
• C． （6，+∞）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a，b+m），$\overrightarrow{BP}$=（a，b-m），利用∠APB=90°，求出m²，根据|OP|表示的几何意义，得出m的取值范围．

解答 解：∵圆C：（x-4）²+（y-3）²=1，
∴圆心C（4，3），半径r=1；
设点P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a，b+m），$\overrightarrow{BP}$=（a，b-m）；
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴a²+（b+m）（b-m）=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴m的取值范围是[4，6]．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．