Question

9．抛物线y²=2x分圆盘x²+y²≤8为两部分，这两部分面积的比是$\frac{3π+2}{9π-2}$．

Answer 1

分析 利用定积分求出在抛物线右方的圆盘的面积；然后，圆盘总面积减去右方的面积，得到下面部分的面积，从而得到答案．

解答 解：设抛物线右方的圆盘的面积为s₁，抛物线左方的圆盘的面积为s₂，则
由于y²=2x与x²+y²=8的交点为：（2，±2）
∴S₁=${∫}_{-2}^{2}[\sqrt{8-{y}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{2}]dy$=2（${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{8-{y}^{2}}$dy-${∫}_{0}^{2}$$\frac{{y}^{2}}{2}$dy）=2（π+$\frac{2}{3}$）
∴S₂=8π-S₁=6π-$\frac{4}{3}$s2，
∴两部分面积的比是$\frac{3π+2}{9π-2}$．
故答案为：$\frac{3π+2}{9π-2}$．

点评 此题考查定积分求面积，找准积分区间和被积函数，利用定积分的性质，就能较快解决．