题目内容
【题目】已知函数f（x）=2cos2x+2 
sinxcosx+a，且当 
时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 
，再把所得图象向右平移 
个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间 
上的所有根之和．
【答案】
（1）解：f（x）=2cos2x+2 
sinxcosx+a
=cos2x+1+ sin2x+a
=2sin（2x+ 
）+a+1，
∵x∈[0， ]，
∴2x+ ∈[ ， 
]，
∴f（x）min=a+2=2，故a=0，
∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，
由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ （k∈Z），
解得：kπ﹣ 
≤x≤kπ+ （k∈Z），
故f（x）的单调增区间是[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
（2）解：g（x）=2sin[4（x﹣ 
）+ ]+1=2sin（4x﹣ ）+1，
由g（x）=2得sin（4x﹣ ）= 
，
则4x﹣ =2kπ+ 或2kπ+ 
（k∈Z），
解得x= 
+ 或 + 
，（k∈Z）；
∵x∈[0， ]，
∴x= 或 ，故方程所有根之和为 + =
【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，x∈[0， ]时f（x）的最小值为2，可求得a，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调增区间；（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin（4x﹣ ）+1，依题意，g（x）=2得sin（4x﹣ ）= ，x∈[0， ]，可求得x= 或 ，从而可得答案．
【考点精析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对题目进行判断即可得到答案，需要熟知图象上所有点向左（右）平移
个单位长度，得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
倍（横坐标不变），得到函数
的图象．
