题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求
在
处的切线方程;
(2)若在区间
上恰有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)求出,利用导数的几何意义求切线斜率为
,根据点斜式可得切线方程;(2)利用导数求出函数的极大值和极小值,利用
在区间
上恰有两个零点列不等式组,求解不等式组即可求
的取值范围.
试题解析:(1)由已知得,
若时,有
,
,
∴在处的切线方程为:
,化简得
.
(2)由(1)知,
因为且
,令
,得
所以当时,有
,则
是函数
的单调递减区间;、
当时,有
,则
是函数
的单调递增区间. 9分
若在区间
上恰有两个零点,只需
,即
,
所以当时,
在区间
上恰有两个零点.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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