题目内容

如图所示,已知抛物线方程为y2=4x,其焦点为F,准线为l,A点为抛物线上异于顶点的一个动点,射线HAE垂直于准线l,垂足为H,C点在x轴正半轴上,且四边形AHFC是平行四边形,线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.

(1)证明:∠BAD=∠EAD;
(2)求△ABD面积的最小值,并写出此时A点的坐标.
(1)见解析(2)16 ,(1,±2)
(1)证明:由抛物线定义得|AH|=|AF|,∴∠AHF=∠AFH.
又∵四边形AHFC是平行四边形,∴HF∥AC,∴∠AHF=∠EAD,∠AFH=∠BAD.
综上可得∠BAD=∠EAD.
(2)易知焦点F(1,0),准线l方程为x=-1,设A点坐标为 (a≠0),
则直线AB方程为4ax-(a2-4)y-4a=0(包括AB⊥x轴的情况),
结合y2=4x得4a2x2-(a4+16)x+4a2=0,
根据抛物线定义,可知|AB|=xA+xB+2=+2=+2≥4(当且仅当a=±2时等号成立).
另外,结合kAD=kHF=-,可得直线AD方程为y=-x++a,
结合y2=4x得ay2+8y-a3-8a=0,由于yD+yA=-
∴yD=--a.又∵∠BAD=∠EAD,
∴D点到直线AB的距离即为D点到直线AE的距离,即d=|yD-yA|=≥8(当且仅当a=±2时等号成立).
∴S△ABD·|AB|·d≥×4×8=16(当且仅当a=±2时取“=”号).
此时A点坐标为(1,±2).
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网