Question

16．已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，且S₁，S₂的等差中项为S₃，若8（a₁+a₃）=-5．
（1）求数列[a_n]的通项公式；
（2）记R_n=|$\frac{1}{a_1}|+|\frac{2}{a_2}|+|\frac{3}{a_3}|+…+|\frac{n}{a_n}$|，对于任意的n≥2，n∈N^*，不等式m（R_n-n-1）≥（n-1）²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等比数列的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，列方程，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；
（2）运用错位相减法求得R_n，再由参数分离和数列的单调性，可得最大值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）设等比数列的公比为q，
S₁，S₂的等差中项为S₃，可得2S₃=S₁+S₂，
即为2（a₁+a₁q+a₁q²）=a₁+a₁+a₁q，
又8（a₁+a₃）=-5．即为8（a₁+a₁q²）=-5，
解得a₁=q=-$\frac{1}{2}$，
∴${a_n}={（-\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$；
（2）${R_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$，
2R_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
-R_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$n•2ⁿ⁺¹，即R_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2，
n≥2，n∈N^*，不等式m（R_n-n-1）≥（n-1）²恒成
即m（n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2-n-1）≥（n-1）²
即$m≥\frac{n-1}{{{2^{n+1}}-1}}（n≥2，n∈{N^*}）$恒成立，
记$f（n）=\frac{n-1}{{{2^{n+1}}-1}}，f（n+1）-f（n）=\frac{n}{{{2^{n+2}}-1}}-\frac{n-1}{{{2^{n+1}}-1}}=\frac{{（2-n）•{2^{n+1}}-1}}{{（{2^{n+2}}-1）•（{2^{n+1}}-1）}}＜0$，
∴f（n）单调递减．                                                
∴$f（n）≤f（2）=\frac{2-1}{{{2^3}-1}}=\frac{1}{7}$∴$m≥\frac{1}{7}$，
∴n≥2，n∈N^*，不等式m（R_n-n-1）≥（n-1）²恒成立的实数m的取值范围为$[\frac{1}{7}，+∞）$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质的运用，考查数列的单调性的证明和运用：求不等式恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．