Question

11．已知两个具有线性相关关系的变量x，y的测量数据如下：

x	1	2	3	6
y	2	3	5	6

通过最小二乘法求其线性回归方程，并预报当变量x为14时，变量y的值．
（ 注：线性回归方程y=bx+a，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$）

Answer 1

分析 根据题意，求出平均数$\overline{x}$、$\overline{y}$，计算$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i和$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$，求出相关系数b和a，即可得出线性回归方程．

解答 解：根据题意，得：
数据x的平均数是$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（1+2+3+6）=3，（2分）
y的平均数是$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（2+3+5+6）=4；
∴$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=1×2+2×3+3×5+6×6=59}$，
$\sum_{i=1}^4{x_i^2=1+4+9+36=50}$，
∴相关系数$b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{59-4×3×4}{50-4×9}=\frac{11}{14}$，（6分）
$a=\overline y-b\overline x=4-\frac{11}{14}×3=\frac{23}{14}$；
∴线性回归方程为：y=$\frac{11}{14}$x+$\frac{23}{14}$，（8分）
当变量x=14时，变量y=$\frac{11}{14}$×14+$\frac{23}{14}$=$\frac{177}{14}$．（10分）

点评 本题考查了根据公式计算线性回归方程的应用问题，是基础题目．