题目内容

【题目】已知函数 .
(1)若 ,求函数 的极小值;
(2)设函数 ,求函数 的单调区间;
(3)若在区间 上存在一点 ,使得 成立,求 的取值范围,(

【答案】
(1)解: 的定义域为

时,

,解得 .

时, 单调递减;

时, 单调递增;

所以当 时,函数 取得极小值,极小值为


(2)解: ,其定义域为

①当 ,即 时,在 ,所以,函数 上单调递增.

②当 ,即 时,在 ,在

所以 上单调递减,在 上单调递增;

综上所述:当 时, 的递减区间为 ;递增区间为

时, 只有递增区间为


(3)解:若在 上存在一点 ,使得 成立,即在 上存在一点 ,使得

则函数 上的最小值小于零.

①当 ,即 时,由(2)可知 上单调递减.

上的最小值为 ,由 ,可得

因为 .所以

②当 ,即 时,由(2)可知 上单调递增.

上最小值为 ,由

可得 (满足 );

③当 ,即 时,由(2)可知可得 上最小值为

因为 ,所以,

,即 不满足题意,舍去.

综上所述得 ,或

实数 的取值范围为


【解析】(1)先求出函数的定义域,求导;(2)利用导数h(x)讨论h(x)的单调性;(3)若在 [ 1 , e ] 上存在一点 x 0 ,使得f(x0g(x0) 成立,即在 [ 1 , e ] 上存在一点 x0,使得 h(x0)< 0,根据(2)求出h(x)的最小值,并使h(x)的最小值小于零.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.

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