题目内容
【题目】已知函数 .
(1)若 ,求函数
的极小值;
(2)设函数 ,求函数
的单调区间;
(3)若在区间 上存在一点
,使得
成立,求
的取值范围,(
)
【答案】
(1)解: 的定义域为
.
当 时,
,
.
由 ,解得
.
当 时,
,
单调递减;
当 时,
,
单调递增;
所以当 时,函数
取得极小值,极小值为
(2)解: ,其定义域为
.
又 .
①当 ,即
时,在
上
,所以,函数
在
上单调递增.
②当 ,即
时,在
上
,在
上
,
所以 在
上单调递减,在
上单调递增;
综上所述:当 时,
的递减区间为
;递增区间为
.
当 时,
只有递增区间为
.
(3)解:若在 上存在一点
,使得
成立,即在
上存在一点
,使得
.
则函数 在
上的最小值小于零.
①当 ,即
时,由(2)可知
在
上单调递减.
故 在
上的最小值为
,由
,可得
.
因为 .所以
;
②当 ,即
时,由(2)可知
在
上单调递增.
故 在
上最小值为
,由
,
可得 (满足
);
③当 ,即
时,由(2)可知可得
在
上最小值为
.
因为 ,所以,
.
,即
不满足题意,舍去.
综上所述得 ,或
.
实数
的取值范围为
.
【解析】(1)先求出函数的定义域,求导;(2)利用导数h(x)讨论h(x)的单调性;(3)若在 [ 1 , e ] 上存在一点 x 0 ,使得f(x0)
g(x0) 成立,即在 [ 1 , e ] 上存在一点 x0,使得 h(x0)< 0,根据(2)求出h(x)的最小值,并使h(x)的最小值小于零.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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