题目内容
【题目】已知点为圆心的圆与
轴交于
与
轴交与
,其中
为原点.
(1)求证:的面积为定值;
(2)设直线与圆
交于点
,若
,求圆
的方程.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)求出半径,写出圆的方程,再解出的坐标,利用直角三角形面积公式用
表示出面积,消去
即可;(2)由
,可得
垂直平分线段
,求出
的斜率,可得出
的方程,解出
的值,直线
与圆
交于点
,判断
是否符合要求,即可得圆的方程.
试题解析:∵圆C过原点O,∴r2=t2+. 设圆C的方程是(x-t)2+
=t2+
,令x=0,得y1=0,y2=
;令y=0,得x1=0,x2=2t.∴S△OAB=
OA×OB=
×
×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.
(2)解 ∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵kMN=-2,∴kOC=.
∴直线OC的方程是y=x.∴
=
t.解得t=2或t=-2.
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=
,
圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,
此时C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合题意,舍去.∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
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【题目】濮阳市黄河滩区某村2010年至2016年人均纯收入(单位:万元)的数据如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2010年至2016年该村人均纯收入的变化情况,并预测该村2017年人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小乘法估计公式分别为: =
,
=
﹣
.