Question

【题目】如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形， ， ， ， 为 的中点，平面 交 于 点.、

（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为 ， 分别为 ， 的中点， ，所以 .

因为 ，所以 .

因为 底面 ，所以 .

因为 ，所以 平面 .

所以 .

因为 ，所以 平面

因为 平面 ，所以 .

（2）证明：如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 .

则 ， ， ， ， .

由（1）可知， 平面 ，

所以平面 的法向量为 .

设平面 的法向量为

因为 ， ，

所以 即

令 ，则 ， ，

所以 ，所以

所以二面角 的余弦值 .

【解析】(1)首先根据题意利用线面垂直的判定定理可证明 P B ⊥ 平面 A D N M，然后由线面垂直得到线线垂直。(2)由题意以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A x y z，分别求出平面 A D M N 和平面 P D N 的法向量，再根据两个法向量的夹角即为二面角的平面角的大小结合向量的数量积公式即可求出夹角的余弦值。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．