Question

【题目】在边长都是正整数的三角形中，周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种的个数多?说明理由．

Answer 1

【答案】一样多

【解析】

两种三角形的个数相等．

设正整数是周长为2009的三角形边长．则正整数是周长为2012的三角形边长．这样的三角形存在，因为由，即每个周长为2009的三角形都有周长为2012的三角形与之对应．

下面证明：每个周长为2012的三角形都有周长为2009的三角形与之对应．

设是周长为2012的三角形边长．

（1）其所有边长大于1．

事实上，三角形的每条边大于另两边的差，若某边长为1，则另外两条边应当是彼此

相等的，并且在这种情形下三角形的周长是奇数．

（2）．

由此得．当等式成立时，得（奇数），它等于2012，这意味着数中两个较小数的和大于第三个，且这些数是某个三角形的三边长．

故周长是2009的三角形与周长是2012的三角形的个数一样多．