Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列 的前n项和最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，

∴a1（λa1﹣2）=0

若取a1=0，则Sn=0，an=Sn﹣Sn﹣1=0

∴an=0（n≥1）

若a1≠0，则 ，当n≥2时，2an= ，

两式相减可得，2an﹣2an﹣1=an

∴an=2an﹣1，从而可得数列{an}是等比数列

∴an=a12n﹣1= =

综上可得，当a1=0时，an=0，当a1≠0时，

（2）解：当a1＞0且λ=100时，令

由（1）可知

∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2

∴b1＞b2＞…＞b6= ＞0

当n≥7时，

∴数列 的前6项和最大

【解析】（1）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（2）由a1＞0且λ=100时，令 ，则 ，结合数列的单调性可求和的最大项
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．