题目内容
【题目】已知函数.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)证明:.
【答案】(1)时,
在
上递减,
时,
时递减,
时递增;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)判断单调性,定义域为,只要求得导数
,判断
的正负即可,此题需要按
和
分类讨论;(2)证明此不等式的关键是求
的最大值,由导数的知识可得
最大值为
,即
,当
时,
.从而
,这样要证不等式的左边每一项都可以放大:
,并且再放大为
,求和后,不等式右边用裂项相消法可得.
试题解析:(1)由题可知,
定义域为,
所以,
若,
恒成立,
在
单调递减.
若,
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增.
(2)令,则
,
设,由于
,令
得
,
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减
所以,
所以当时,
对
恒成立,即
,
从而,
从而得到,对
依次取值
可得
…,
,
对上述不等式两边依次相加得到:
,
又因为,
而,
所以,
所以
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