题目内容
【题目】(本小题满分12分)已知点为抛物线
的焦点,点
在抛物线
上,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长
交抛物线
于点
,证明:以点
为圆心且与直线
相切的圆,必与直线
相切.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】解法一:(Ⅰ)由抛物线的定义得.
因为,即
,解得
,所以抛物线
的方程为
.
(Ⅱ)因为点在抛物线
上,
所以,由抛物线的对称性,不妨设
.
由,
可得直线
的方程为
.
由,得
,
解得或
,从而
.
又,
所以,
,
所以,从而
,这表明点
到直线
,
的距离相等,
故以为圆心且与直线
相切的圆必与直线
相切.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设以点为圆心且与直线
相切的圆的半径为
.
因为点在抛物线
上,
所以,由抛物线的对称性,不妨设
.
由,
可得直线
的方程为
.
由,得
,
解得或
,从而
.
又,故直线
的方程为
,
从而.
又直线的方程为
,
所以点到直线
的距离
.
这表明以点为圆心且与直线
相切的圆必与直线
相切.
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