Question

【题目】对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；② ； ③；④.则其中是“偏对称函数”的函数序号为 _______．

Answer 1

【答案】①④.

【解析】分析：条件②等价于f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，条件③等价于f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得出结论．

详解：由②可知当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上单调递减，不满足条件②，

∴f2（x）不是“偏对称函数”；

又（）=（）=0，∴（x）在（0，+∞）上不单调，故（x）不满足条件②，

∴（x）不是“偏对称函数”；

又f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上单调递减，不满足条件②，

∴f2（x）不是“偏对称函数”；

由③可知当x1＜0时，f（x1）＜f（﹣x2），即f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，

对于（x），当x＜0时，（x）﹣（﹣x）=﹣x﹣e﹣x+1，

令h（x）=﹣x﹣e﹣x+1，则h′（x）=﹣1+e﹣x＞0，

∴h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故h（x）＜h（0）=0，满足条件③，

由基本初等函数的性质可知（x）满足条件①，②，

∴（x）为“偏对称函数”；

对于f4（x），f4′（x）=2e2x﹣ex﹣1=2（ex﹣）2﹣，

∴当x＜0时，0＜ex＜1，∴f4′（x）＜2（1﹣）2﹣=0，

当x＞0时，ex＞1，∴f4′（x）＞2（1﹣）2﹣=0，

∴f4（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，满足条件②，

当x＜0，令m（x）=f4（x）﹣f4（﹣x）=e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，

则m′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2=2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，

令e﹣x+ex=t，则t≥2，于是m′（x）=2t2﹣t﹣6=2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣=0，

∴m（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

∴m（x）＜m（0）=0，故f4（x）满足条件③，

又f4（0）=0，即f4（x）满足条件①，

∴f4（x）为“偏对称函数”．

故答案为：①④．