Question

【题目】由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是( )

A. 没有最大元素, 有一个最小元素 B. 没有最大元素, 也没有最小元素

C. 有一个最大元素, 有一个最小元素 D. 有一个最大元素, 没有最小元素

Answer 1

【答案】C

【解析】试题分析：A正确，例如M是所有的有理数,N是所有的有理数。B正确，如M是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，N是所有平方大于2的正有理数。显然M和N的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。D正确，如例如M是所有的有理数，N是所有的有理数。C错；M有最大元素a，且N有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾