题目内容
9.函数f(x)=1-2sin2(x+$\frac{π}{8}$)+2sin(x+$\frac{π}{8}$)cos(x+$\frac{π}{8}$).求:(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调区间.
分析 (1)由三角函数公式化简可得f(x)=$\sqrt{2}$cos2x,由周期公式可得;
(2)解不等式2kπ≤2x≤2kπ+π可得单调递减区间;同理由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得单调递增区间.
解答 解:(1)由三角函数公式化简可得f(x)=1-2sin2(x+$\frac{π}{8}$)+2sin(x+$\frac{π}{8}$)cos(x+$\frac{π}{8}$)
=cos(2x+$\frac{π}{4}$)+sin(2x+$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$sin[(2x+$\frac{π}{4}$)+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{2}$)=$\sqrt{2}$cos2x,
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π
(2)由2kπ≤2x≤2kπ+π可得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$,
∴函数的单调递减区间为[kπ,kπ+$\frac{π}{2}$],k∈Z;
同理由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+π,
∴函数的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{2}$,kπ+π],k∈Z.
点评 本题考查和差角的三角函数公式,涉及二倍角公式和三角函数的单调性和周期性,属基础题.
练习册系列答案
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18.若0<t<1,则不等式x2-(t+$\frac{1}{t}$)x+1<0的解集是( )
A. | {x|$\frac{1}{t}$<x<t} | B. | {x|x>$\frac{1}{t}$或x<t} | C. | {x|x<$\frac{1}{t}$或x>t} | D. | {x|t<x<$\frac{1}{t}$} |