Question

【题目】对于任意的实数m∈[0，1]，mx2﹣2x﹣m≥2，则x的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1]
【解析】解：不等式mx2﹣2x﹣m≥2可化为mx2﹣2x﹣m﹣2≥0，
函数f（x）=mx2﹣2x﹣m﹣2，
则f（x）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2对于m∈[0，1]时，f（x）≥0恒成立，
即不等式（x2﹣1）m﹣2x﹣2≥0恒成立；
令g（m）=（x2﹣1）m﹣2x﹣2，
则函数g（m）在区间[0，1]上的最小值大于或等于0；
因为函数g（m）的一次项系数为x2﹣1，
当x2﹣1=0时，x=±1，且x=1时，g（m）=﹣4不合题意；
x=﹣1时，g（m）=0满足题意；
当x2﹣1＞0时，有x＞1或x＜﹣1，
函数g（m）在区间[0，1]上单调递增，
g（m）的最小值是g（0）=﹣2x﹣2≥0，解得x≤﹣1，应取x＜﹣1；
当x2﹣1＜0时，有﹣1＜x＜1，函数g（m）在区间[0，1]上单调递减，
g（m）的最小值是g（1）=x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3，此时x不存在；
综上，x的取值范围是x≤﹣1．
所以答案是：（﹣∞，﹣1]．
【考点精析】通过灵活运用解一元二次不等式，掌握求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边即可以解答此题．