题目内容
【题目】已知椭圆的焦点在
轴上,且椭圆
的焦距为2.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点的直线
与椭圆
交于两点
,过
作
轴且与椭圆
交于另一点
,
为椭圆
的右焦点,求证:三点
在同一条直线上.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由焦距为2可得,解方程得
的值,即可得椭圆
的标准方程;(Ⅱ)设直线
的方程为
,点
,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理可得
,
,直线
方程为
,结合点在
上,用
,
代替
,
,化简整理直线
方程为
,令
,整理得
,得证.
试题解析:(Ⅰ)∵椭圆的焦点在
轴上,
∴,即
,
∵椭圆的焦距为2,且
,
∴,解得
,
∴椭圆的标准方程为
;
(Ⅱ)由题知直线的斜率存在,
设的方程为
,点
,
则得
,
即,
,
,
,
由题可得直线方程为
,
又∵,
,
∴直线方程为
,
令,整理得
,
即直线过点
,
又∵椭圆的右焦点坐标为
,
∴三点在同一条直线上.
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