题目内容
【题目】已知椭圆:
的短轴长为
,右焦点为
,点
是椭圆
上异于左、右顶点
的一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与直线
交于点
,线段
的中点为
,证明:点
关于直线
的对称点在直线
上.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)由短轴长为,得
,结合离心率及
可得椭圆的方程;
(Ⅱ)“点关于直线
的对称点在直线
上”等价于“
平分
”,设出直线
的方程为
,可解出
,
的坐标,联立直线与椭圆的方程可得
点坐标,分为当
轴时,即可求得
的角平分线所在的直线方程,可得证,当
时,利用点到直线的距离可求出点
到直线
的距离
,即可得结果.
试题解析:解:(Ⅰ)由题意得 解得
, 所以椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)“点关于直线
的对称点在直线
上”等价于“
平分
”.
设直线的方程为
,则
.
设点,由
得
,得
① 当轴时,
,此时
.所以
.
此时,点在
的角平分线所在的直线
或
,即
平分
.
② 当时,直线
的斜率为
,所以直线
的方程为
,所以点
到直线
的距离
.
即点关于直线
的对称点在直线
上.
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