题目内容
【题目】如图,设点是抛物线
的焦点,直线
与抛物线
相切于点
(点
位于第一象限),并与抛物线
的准线相交于点
.过点
且与直线
垂直的直线
交抛物线
于另一点
,交
轴于点
,连结
.
(1)证明:为等腰三角形;
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)4
【解析】
(1)利用导数求出点P处的切线方程,由垂直关系写出法线方程,得到点Q坐标,由抛物线定义得到;
(2)先求出点A,B的坐标,再求与
的表达式,利用直角三角形得到面积的函数关系,再求最大值.
(1)设点P的坐标为且
,
因为直线l与抛物线C相切,求导得,即
,
所以直线l的方程为:,
得直线m的方程为:,即
,
因为,即
,
而,
所以得,即
为等腰三角形.
(或者求出切线与y轴的交点,可证点F为直角三角形斜边的中点,同样可证)
(2)因为抛物线C的准线为,得
,
所以,
联立方程组,得
,
因为,
,即
,
所以,
得面积为
,
当且仅当时,取到最小值4.
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