题目内容
(12分)二次函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的图象与x轴的两个不同的交点的横坐标分别为x1、x2。
(1)证明:(1+x1)(1+x2)=1;
(2)证明:x1<-1,x2<-1;
(3)若函数y=xf(x)在区间(-
,-4)
上单调递增,试求a的取值范围。
(1)证明:(1+x1)(1+x2)=1;
(2)证明:x1<-1,x2<-1;
(3)若函数y=xf(x)在区间(-


(1)见解析(2)见解析(3)

(
1)由题意知x1,x2是一元二次方和ax2+x+1=0的两个实根,所以x1+x2=-
,x1x2=
x1+x2=-x1x2,所以(1+x1)(1+x2)=1
(2)由方程ax2+x+1=0(a>0)的判别式
=1-4a>0,解得0<a<
.
所以y=ax2+x+1=0(a>0)的图象的对
称轴
x=-
,且f(-1)=a>0
所以二次函数y=ax2+x+1(a>0)的图象与x轴两个交点都在-1点的左侧,
即x1<-1,x2<-1
(3)设g(x)=xf(x)=ax3+x2+x(0<a<
),
∴g’(x)=3ax2+2x+1>0对x
(-
,-4)恒成立,
∴3a>
=-(
)2+1
又当x
(-
,-4)时,-(
)2+1<
∴a≥
,∴



x1+x2=-x1x2,所以(1+x1)(1+x2)=1
(2)由方程ax2+x+1=0(a>0)的判别式


所以y=ax2+x+1=0(a>0)的图象的对

x=-

所以二次函数y=ax2+x+1(a>0)的图象与x轴两个交点都在-1点的左侧,
即x1<-1,x2<-1
(3)设g(x)=xf(x)=ax3+x2+x(0<a<

∴g’(x)=3ax2+2x+1>0对x


∴3a>


又当x




∴a≥



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