题目内容

(12分)二次函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的图象与x轴的两个不同的交点的横坐标分别为x1、x2
(1)证明:(1+x1)(1+x2)=1;
(2)证明:x1<-1,x2<-1;
(3)若函数y=xf(x)在区间(-,-4)上单调递增,试求a的取值范围。
(1)见解析(2)见解析(3)
1)由题意知x1,x2是一元二次方和ax2+x+1=0的两个实根,所以x1+x2=-,x1x2=
x1+x2=-x1x2,所以(1+x1)(1+x2)=1
(2)由方程ax2+x+1=0(a>0)的判别式=1-4a>0,解得0<a<.
所以y=ax2+x+1=0(a>0)的图象的对称轴
x=-,且f(-1)=a>0
所以二次函数y=ax2+x+1(a>0)的图象与x轴两个交点都在-1点的左侧,
即x1<-1,x2<-1
(3)设g(x)=xf(x)=ax3+x2+x(0<a<),
∴g’(x)=3ax2+2x+1>0对x(-,-4)恒成立,
∴3a>=-()2+1
又当x(-,-4)时,-()2+1< 
∴a≥,∴ 
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