Question

15．使内接椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的矩形面积最大，矩形的长为$\sqrt{2}$a，宽为$\sqrt{2}$b．

Answer 1

分析 运用椭圆的参数方程设内接椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的矩形ABCD的顶点坐标，再由矩形的面积公式和二倍角的正弦公式，以及正弦函数的最值，即可得到所求最大值及对应的长与宽．

解答 解：设内接椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的矩形ABCD的顶点坐标为A（acosα，bsinα），（0＜α＜$\frac{π}{2}$）
B（acosα，-bsinα），C（-acosα，-bsinα），D（-acosα，bsinα），
则内接矩形的面积为S=2acosα•2bsinα=2absin2α，
当sin2α=1，即α=$\frac{π}{4}$时，矩形的面积最大，且为2ab．
即有矩形的长为$\sqrt{2}$a，宽为$\sqrt{2}$b．
故答案为：$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$b．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题．