Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）
（1）讨论函数f（x）的单调性
（2）若不等式 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R），求导f′（x）= +a+ ，

当x=2时，f′（2）=1+a+f′（2），

∴a=﹣1，

设切点为（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），则切线方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），

将（﹣4，2ln2）代入切线方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），则f′（2）=﹣ ，

∴f′（x）= ﹣1﹣ = ≤0，

∴f（x）在（0，+∞）单调递减

（2）解：由不等式 恒成立，则 （2lnx+ ）＞m，

令φ（x）=2lnx+ ，（x＞0）求导φ′（x）= ﹣ ﹣1=﹣（ ﹣1）2≤0，

∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，

由φ（1）=0，

则当0＜x＜1时，φ（x）＞0，

当x＞1时，φ（x）＜0，

∴ （2lnx+ ）在（0，+∞）恒大于0，

∴m≤0，

实数m的取值范围（﹣∞，0]

【解析】（1）求导，当x=2时，代入f′（x），即可求得a=﹣1，求得点斜式方程，将（﹣4，2ln2）代入点斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函数f（x）的单调区间；（2）由题意可知 （2lnx+ ）＞m，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及零点性质，求得 （2lnx+ ）最小值，即可求得实数m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．