题目内容
【题目】已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于点.
(Ⅰ)若垂直于轴,求直线的斜率;
(Ⅱ)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)平行,理由见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据题意可设,,求出AE的方程,令可求得M的坐标从而可得直线的斜率;(Ⅱ)当直线的斜率不存在时由可得;当直线的斜率存在时设,,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理表示出、,化简可得,则.
(Ⅰ)因为过点且垂直于轴,所以可设,.
直线的方程为,
令,得,则,
所以直线的斜率.
(Ⅱ)直线与直线平行.证明如下:
①当直线的斜率不存在时,由(Ⅰ)可知.
又因为直线的斜率,所以,
②当直线的斜率存在时,设其方程为
设,,则直线的方程为.令,得点.
由,得,
所以,.
直线的斜率.
因为
,
所以.所以.
综上可知,直线与直线平行.
【题目】为了调查某款电视机的寿命,研究人员对该款电视机进行了相应的测试,将得到的数据分组:,,,,,并统计如图所示:
并对不同性别的市民对这款电视机的购买意愿作出调查,得到的数据如下表所示:
愿意购买该款电视机 | 不愿意购买该款电视机 | 总计 | |
男性 | 800 | 1000 | |
女性 | 600 | ||
总计 | 1200 |
(1)根据图中的数据,试估计该款电视机的平均寿命;
(2)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否愿意购买该款电视机”与“市民的性别”有关;
(3)以频率估计概率,若在该款电视机的生产线上随机抽取4台,记其中寿命不低于4年的电视机的台数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某工厂的,,三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测:
车间 | |||
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自,,各车间产品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.
【题目】已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表:
学生的编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
数学 | 89 | 87 | 79 | 81 | 78 | 90 |
物理 | 79 | 75 | 77 | 73 | 72 | 74 |
(1)若在本次考试中,规定数学在80分以上(包括80分)且物理在75分以上(包括75分)的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生,设表示理科小能手的人数,求的分布列和数学期望;
(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用表示数学成绩,用表示物理成绩,求与的回归方程.
参考数据和公式:,其中,.