题目内容
【题目】如图1，平面四边形
中，
为
上一点，
和
均为等边三角形，
分别是
和
的中点，将四边形沿向上翻折至四边形
的位置，使二面角
为直二面角，如图2所示.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）推导出
，
，从而直线
平面
，进而直线
平面，同理可证直线平面
，由此能证明平面
平面，从而有
平面
；（2）以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系
，利用向量法能求出平面
与平面
所成角的正弦值．
（1）在等边△
和
中，，，
，
所以直线平面，即直线平面，
同理可证直线平面，
故平面平面，
又
平面
，从而有平面．
（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
，0，
，
，1，，
，
，
，
，，
，
．
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
设平面的一个法向量为
，，
，
由
，得
，令
，得
，
所以平面的一个法向量为
，
同理，设平面的一个法向量为
，
由
，得
，
令，得
，所以平面的一个法向量为
，
，
．
从而
，
故平面与平面所成角的正弦值为
．
【题目】某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y关于x的线性回归方程为
．
x（万元） | 6 | 7 | 8 | 11 | 12 | 14 | 17 | 21 |
y（十万元） | 1.2 | 1.5 | 1.7 | 2 | 2.2 | 2.4 | 2.6 | 2.9 |
（1）求
的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）．
（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为
．
（i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率
）；
（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大．
