题目内容

【题目】已知函数.

1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;

2)当时,是否存在整数,使得关于的不等式恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,说明理由.

【答案】12)存在;的最大值为-1

【解析】

1)求得,根据题设条件,得到,即可求解;

2)假设存在整数,使得不等式恒成立,当时,函数,求得函数的导数,令,利用导数求得函数的单调性与最值,结合零点的存在定理和函数的最值,即可求解.

1)由题意,函数,则

因为曲线在点处的切线方程为

所以,解得.

2)假设存在整数,使得关于的不等式恒成立,

时,函数,可得

,则

所以单调递增,且

所以存在使得

因为当时,,即,所以单调递减;

时,,即,所以单调递增,

所以时,取得极小值,也是最小值,

此时

因为,所以

因为,且为整数,所以,即的最大值为-1.

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