Question

12．已知函数f（x）=x³-3x²-9x．
（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程．
（Ⅱ）若不等式f（x）-3k≤0对任意x∈[-2，4]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）由f（x）-3k≤0，得x³-3x²-9x-3k≤0，分离参数k得k≥$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$．令g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$，利用导数求出其在x∈[-2，4]上的最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3x²-9x，得f′（x）=3x²-6x-9，
∴f′（1）=-12，又f（1）=-11．
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为：y+11=-12（x-1），即12x+y-1=0；
（Ⅱ）由f（x）-3k≤0，得x³-3x²-9x-3k≤0，
即k≥$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$．
令g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$，
则g′（x）=x²-2x-3，由g′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
∴当x∈（-2，-1），（3，4）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（-1，3）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∵g（-1）=$\frac{5}{3}$，g（4）=$-\frac{20}{3}$．
∴在x∈[-2，4]时，$g（x）_{max}=\frac{5}{3}$．
∴若不等式f（x）-3k≤0对任意x∈[-2，4]恒成立，则k的取值范围是[$\frac{5}{3}，+∞$）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法求参数的取值范围，是中档题．