Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=$\frac{n}{n-1}$a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为S_n，比较S${\;}_{{2}^{n}}$与n的大小关系；
（Ⅲ）令c_n=$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$，数列{$\frac{2{c}_{n}}{{（c}_{n}-1）^{2}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （I）由a_n=$\frac{n}{n-1}$a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2×3^n-2．利用“累加求和”可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{{a}_{n-2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+a₁
再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，可得：数列{b_n}的前n项和为S_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．${S}_{{2}^{n}}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}+\frac{1}{{2}^{n-1}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．令f（n）=${S}_{{2}^{n}}$-n，则f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$+$\frac{1}{{2}^{n}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1＜0，利用其单调性即可得出．
（III）c_n=$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=3ⁿ，可得当n≥2时，$\frac{2{c}_{n}}{{（c}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）^{2}}$≤$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n}-3）}$=$\frac{2•{3}^{n-1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n-1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n}-1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）解：∵a_n=$\frac{n}{n-1}$a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^*），∴$\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2×3^n-2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{{a}_{n-2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+a₁
=2（3^n-2+3^n-2+…+3+1）+1
=$2×\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}$+1
=3^n-1．
∴a_n=n•3^n-1．（当n=1时也成立）．
（II）证明：b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
∴${S}_{{2}^{n}}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}+\frac{1}{{2}^{n-1}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
令f（n）=${S}_{{2}^{n}}$-n，
则f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$+$\frac{1}{{2}^{n}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1＜$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$-1＜0，
∴f（n+1）＜f（n）．
当n=1时，f（1）-1=${S}_{{2}^{1}}$-1=1+$\frac{1}{2}$-1＞0，∴${S}_{{2}^{1}}$＞1；
当n=2时，f（2）-2=${S}_{{2}^{2}}$-2=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-2＞0，∴${S}_{{2}^{2}}$＞2；
当n=3时，f（3）-3=${S}_{{2}^{3}}$-3=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$）-3＜0，∴${S}_{{2}^{3}}$＜3；
由于f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时${S}_{{2}^{n}}$＜n．
综上所述：当n=1，2时，${S}_{{2}^{n}}$＞n；当n≥3（n∈N^*）时，${S}_{{2}^{n}}$＜n．
（III）证明：c_n=$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=3ⁿ，
∴当n≥2时，$\frac{2{c}_{n}}{{（c}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）^{2}}$≤$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n}-3）}$=$\frac{2•{3}^{n-1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n-1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n}-1}$，
∴前n项和为T_n=$\frac{3}{2}$+$（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n-1}-1}-\frac{1}{{3}^{n}-1}）$
=2-$\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜2．
∴T_n＜2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“累加求和”、“裂项求和”、数列的单调性、“放缩法”、不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．