题目内容
2.设a、b、c∈R满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-10a-11=0}\\{{a}^{2}-bc-4a-5=0}\end{array}\right.$,求ab+bc+ca的取值范围.分析 整体观察已知与未知,会发现二者的相似之处是出现b2+c2、bc、b+c,于是联想到与一元二次方程知识组块有关.运用相关知识,可以把握解题方向.
解答 解:由题意,b2+c2=-a2+10a+11,bc=a2-4a-5,
∴b2+c2≥2|bc|,∴-a2+10a+11≥2|a2-4a-5|,
∴-1≤a≤7,
∵(b+c)2=b2+c2+2bc=(a+1)2,
∴|b+c|=|a+1|
b+c=a+1,ab+bc+ca=a(b+c)+bc=a(a+1)+a2-4a-5=2a2-3a-5=2(a-$\frac{3}{4}$)2-$\frac{49}{8}$∈[-$\frac{49}{8}$,72];
b+c=-(a+1),ab+bc+ca=a(b+c)+bc=-a(a+1)+a2-4a-5=-5a-5∈[-40,0].
点评 本题考查求ab+bc+ca的取值范围,考查学生分析解决问题的能力,发现二者的相似之处是出现b2+c2、bc、b+c,于是联想到与一元二次方程知识组块有关是解题的关键.
练习册系列答案
相关题目
3.已知函数f(x)=log2(ax2+ax+1)的值域为R,则实数a的取值范围是( )
A. | (4,+∞) | B. | (-∞,4) | C. | [4,+∞) | D. | (-∞,4] |
10.已知一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体的所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A. | 50π | B. | 100π | C. | 200π | D. | $\frac{125\sqrt{2}}{3}$π |