题目内容
在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.
(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
解:(Ⅰ)轨迹M的方程为()
(Ⅱ)直线EF的斜率为定值,其值为
(Ⅱ)直线EF的斜率为定值,其值为
本试题主要考查了直线与直线的位置关系,以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。(1) 依题意知直线的方程为:,直线的方程为:,利用交轨法得到轨迹方程的求解。
(2)设出直线方程与椭圆方程联立,运用韦达定理,和斜率公示得到结论。
(Ⅰ)依题意知直线的方程为: ①……………2分
直线的方程为: ②…………………3分
设是直线与交点,①×②得
由 整理得 …………………4分
∵不与原点重合 ∴点不在轨迹M上…………………5分
∴轨迹M的方程为()…………………6分
(Ⅱ)∵点()在轨迹M上 ∴解得,即点A的坐标为
设,则直线AE方程为:,代入并整理得
…………………9分
设,, ∵点在轨迹M上,
∴ ③, ④………………11分
又得,将③、④式中的代换成,可得
,…………………………12分
∴直线EF的斜率…………………13分
∵
∴
即直线EF的斜率为定值,其值为
(2)设出直线方程与椭圆方程联立,运用韦达定理,和斜率公示得到结论。
(Ⅰ)依题意知直线的方程为: ①……………2分
直线的方程为: ②…………………3分
设是直线与交点,①×②得
由 整理得 …………………4分
∵不与原点重合 ∴点不在轨迹M上…………………5分
∴轨迹M的方程为()…………………6分
(Ⅱ)∵点()在轨迹M上 ∴解得,即点A的坐标为
设,则直线AE方程为:,代入并整理得
…………………9分
设,, ∵点在轨迹M上,
∴ ③, ④………………11分
又得,将③、④式中的代换成,可得
,…………………………12分
∴直线EF的斜率…………………13分
∵
∴
即直线EF的斜率为定值,其值为
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