Question

1．已知$tan（{α+\frac{π}{4}}）=3$，求下列各式的值：
（1）$\frac{{cos（{π+α}）-cos（{\frac{π}{2}-α}）}}{{sin（{π-α}）+sin（{\frac{3π}{2}+α}）}}$；
（2）sin2α-2cos²α．

Answer 1

分析 由$tan（{α+\frac{π}{4}}）=3$可求得tanα=$\frac{1}{2}$，
（1）利用诱导公式化简$\frac{cos（π+α）-cos（\frac{π}{2}-α）}{sin（π-α）+sin（\frac{3π}{2}+α）}$=$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$，再“弦”化“切”即可；
（2）利用二倍角的正弦将sin2α-2cos²α化为2sinαcosα-2cos²α，再将分母除以1=sin²α+cos²α，“弦”化“切”即可．

解答 解：∵由$tan（α+\frac{π}{4}）=\frac{1+tanα}{1-tanα}$=3得tanα=$\frac{1}{2}$，于是：
（1）$\frac{cos（π+α）-cos（\frac{π}{2}-α）}{sin（π-α）+sin（\frac{3π}{2}+α）}$=$\frac{-cosα-sinα}{sinα-cosα}$=$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=3；
（2）sin2α-2cos²α=2sinαcosα-2cos²α=$\frac{2sinαcosα-2{cos}^{2}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$=$\frac{2tanα-2}{{tan}^{2}α+1}$=-$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式及变形公式的应用，利用诱导公式及sin²α+cos²α=1实现角α的正弦、余弦的互化、利用tanα可以实现角α的弦切互化是关键，属于中档题．