题目内容

9.已知f(n)=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$,g(n)=$\frac{1}{2}$(3-$\frac{1}{{n}^{2}}$),n∈N*
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并用数学归纳法证明.

分析 (1)当n=1时,f(1)=1=g(1);当n=2时,f(2)=$\frac{9}{8}$,g(2)=$\frac{11}{8}$,f(2)<g(2);同理可得:当n=3时,f(3)<g(3).
(2)由(1)猜想:f(n)≤g(n),利用数学归纳法证明即可.

解答 解:(1)当n=1时,f(1)=1=g(1);
当n=2时,f(2)=$\frac{9}{8}$,g(2)=$\frac{11}{8}$,∴f(2)<g(2);
当n=3时,f(3)=$\frac{251}{216}$,g(3)=$\frac{312}{216}$,∴f(3)<g(3).
(2)由(1)猜想:f(n)≤g(n),下面利用数学归纳法证明:①当n=1,2,3时,不等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)(k≥3)时,不等式成立,即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$<$\frac{1}{2}$(3-$\frac{1}{{k}^{2}}$).
则当n=k+1时,则f(k+1)=f(k)+$\frac{1}{(k+1)^{2}}$$<\frac{1}{2}(3-\frac{1}{{k}^{2}})$+$\frac{1}{(k+1)^{2}}$,
∵$\frac{1}{2(k+1)^{2}}-\frac{1}{2{k}^{2}}$+$\frac{1}{(k+1)^{2}}$=$\frac{-3k-1}{2(k+1)^{2}{k}^{2}}$<0,∴$-\frac{1}{2{k}^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}$$<-\frac{1}{2(k+1)^{2}}$,
∴f(k+1)<$\frac{3}{2}-\frac{1}{2(k+1)^{2}}$=g(k+1),即当n=k+1时,不等式成立.由①②可知:对?n∈N*,都有f(n)≤g(n).

点评 本题考查了数学归纳法的应用、观察分析猜想归纳能力,考查了计算能力,属于中档题.

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