题目内容
2.若关于x的方程log2x+1=2log2(x-a)恰有一个实数解,则实数a的取值范围是a≥0或a=-$\frac{1}{2}$.分析 首先化简log2x+1=2log2(x-a),可得log22x=2log2(x-a),所以$\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-a>0\\ x-a=\sqrt{2x}\end{array}\right.$;然后根据关于x的二元一次方程恰有一个实数解,可得直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐标系中有且只有一个交点,分别画出直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$的图象,判断出a的取值范围即可
解答 解:由log2x+1=2log2(x-a),
可得log22x=2log2(x-a),
所以$\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-a>0\\ x-a=\sqrt{2x}\end{array}\right.$;
因为关于x的二元一次方程恰有一个实数解,
所以直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐标系中有且只有一个交点,
①当直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$相切时,
由x-a=$\sqrt{2x}$,可得x2-2(a+1)x+a2=0,
△=0,可得4(a+1)2-4a2=0,
解得a=-$\frac{1}{2}$;
②根据图象,可得当-a≤0,即a≥0时,直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$恒有一个交点,
综上,a的取值范围为:a≥0或a=-$\frac{1}{2}$.
故答案为:a≥0或a=-$\frac{1}{2}$.
点评 本题主要考查了根的存在性以及根的个数的判断,考查了数形结合的运用,属于中档题,解答此题的关键是分析出直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐标系中有且只有一个交点,并分别画出它们的图象.
练习册系列答案
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