题目内容
【题目】已知曲线的方程为
(
,
为常数).
(1)判断曲线的形状;
(2)设曲线分别与
轴,
轴交于点
,
(
,
不同于原点
),试判断
的面积
是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线:
与曲线
交于不同的两点
,
,且
,求
的值.
【答案】(1)以点为圆心,以
为半径的圆.(2)答案见解析;(3)
或
.
【解析】试题分析:(1)将原式子化简配方,得到,可知曲线是圆;(2)因为这个三角形是直角三角形,三角形面积是底乘高,直接求出曲线和坐标轴的交点即可。(3)首先向量坐标化,得到
,联立直线和曲线得到二次方程,根据韦达定理得
,求出即可。
解析:
(1)将曲线的方程化为
,整理得
,
可知曲线是以点
为圆心,以
为半径的圆.
(2)的面积
为定值.
证明如下:在曲线的方程中令
,得
,得
,
在曲线方程中令
,得
,得
,
所以(定值).
(3)直线与曲线
方程联立得
,
设,
,则
,
,
,
即,即
,解得
或
,
当时,满足
;当
时,满足
.
故或
.
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