题目内容
(1)设扇形的周长是定值为,中心角.求证:当时该扇形面积最大;
(2)设.求证:.
(1)详见解析;(2)详见解析.
解析试题分析:(1)由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值),而扇形面积,一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解),也可考虑利用基本不等式,求出最值,并判断等号成立 条件,从而得解;(2)这是一个双变元(和)的函数求最值问题,由于这两个变元没有制约关系,所以可先将其中一个看成主元,另一个看成参数求出最值(含有另一变元),再求解这一变元下的最值,用配方法或二次函数图象法.
试题解析:(1)证明:设弧长为,半径为,则, 2分
所以,当时, 5分
此时,而
所以当时该扇形面积最大 7分
(2)证明:
9分
∵,∴, 11分
∴当时, 14分
又,所以,当时取等号,
即. 16分
法二:
9分
∵,, 11分
∴当时,
, 14分
又∵,∴
当时取等号
即. 16分
考点:扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.
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