题目内容
如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE•BF=BC•BD．
连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB-----------5分
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角 ∴△BCE∽△BDF ∴
，
即BE•BF=BC•BD…………10分
证法二：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线 ∴AB⊥AD，AC⊥BD，∠CEB=∠CAB
∵在
中，∠CAB=
,在
中，∠D=
∠CAB=∠D, ∠CEB=∠D----------------5分
C,E,F,D四点共圆∴BE•BF=BC•BD…………10分
证法三：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线 ∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF------3分
由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF-------9分 ∴BE•BF=BC•BD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB-----------5分
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角 ∴△BCE∽△BDF ∴
，即BE•BF=BC•BD…………10分
证法二：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线 ∴AB⊥AD，AC⊥BD，∠CEB=∠CAB
∵在
中，∠CAB=,在中，∠D=∠CAB=∠D, ∠CEB=∠D----------------5分C,E,F,D四点共圆∴BE•BF=BC•BD…………10分证法三：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线 ∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF------3分
由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF-------9分 ∴BE•BF=BC•BD
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相交于
两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。证明
；
。
上的点(不与点A、C重合），延长BD至E，延长交BC的延长线于F .
；
是圆
上的两点，且
，
，
为
的中点，连接
并延长交圆
，则
．
的最小值为 .
的弦，C、F是
上的点，OC垂直于弦AB，过点F作
的切线，交AB的延长线于D，连结CF交AB于点E.
；
是圆
的切线, 切点为
, 点
、
在圆
，则圆