Question

13．以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线l：θ=$\frac{π}{4}$与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=（t-1）^{2}}\end{array}\right.$（t为参数）相交于A，B两点．
（1）写出射线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）求线段AB的中点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）射线l：θ=$\frac{π}{4}$的直角坐标方程为y=x（x≥0）．把曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=（t-1）^{2}}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，化为直角坐标方程．
（2）直线方程与抛物线方程联立解得交点A，B，利用中点坐标公式可得AB的中点．

解答 解：（1）射线l：θ=$\frac{π}{4}$的直角坐标方程为y=x（x≥0）．
把曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=（t-1）^{2}}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，化为直角坐标方程为y=（x-2）²．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-2）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），B（4，4），
故AB的中点为$（\frac{5}{2}，\frac{5}{2}）$，
化为极坐标为$（\frac{5\sqrt{2}}{2}，\frac{π}{4}）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．